№38532

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, подобие треугольников, Соотношение в треугольнике,

Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.

Условие

В остроугольном треугольнике \(АВС\) проведены высоты \(АА_{1}\), \(ВВ_{1}\) и \(СС_{1}\). Докажите, что отношение площади треугольника \(A_{1}B_{1}C_{1}\) к площади треугольника \(АВС\) равно \(1 - (\cos{A})^2 - (\cos{B})^2 - (\cos{C})^2\).

Ответ

Утверджение доказано.

Решение № 38516:

Треугольник \(АВ_{1}С_{1}\) подобен треугольнику \(АВС\), и коэффициент подобия равен \(\cos А\) (пример 2 на с. 70). Поэтому отношение площади треугольника \(AB_{1}C_{1}\) к площади треугольника \(АВС\) равно \((cosА)^2\).