№38531

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Окружность и круг, Вписанная и описанная окружности,

Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.

Условие

Докажите, что для любого четырёхугольника \(ABCD\) выполнятся неравенство \(AC \cdot BD \leq AB \cdot CD + BC \cdot AD \(неравенство Птолемея\).

Ответ

Утверджение доказано.

Решение № 38515:

Отложите на лучах \(AB\), \(AC\) и \(AD\) отрезки \(AB_{1}\), \(AC_{1}\) и \(AD_{1}\) длиной \(\frac{1}{AB}\), \(\frac{1}{AC}\) и \(\frac{1}{AD}\). Тогда \(AB : AC = AC_{1} : AB_{1}\), поэтому \(\Delta ABC \backsim \Delta AC_{1}B_{1}\). коэффициент подобия этих треугольников равен \(\frac{1}{AB \cdot AC}\). Следовательно, \(B_{1}C_{1} = \frac{BC}{AB \cdot AC}\). Аналогично \(C_{1}{D_{1} = \frac{CD}{AC \cdot AD}\) и \(B_{1}D_{1} = /frac{BD}{AB /cdot AD}\). Подставив эти выражения в неравенство треугольника \(B_{1}D_{1} \leqslant B_{1}C_{1} + C_{1}D_{1}\) и умножив обе части на \(AB /cdot AC /cdot AD\), получите требуемое.