№38530

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Окружность и круг, Вписанная и описанная окружности,

Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.

Условие

Окружность, проходящая через вершину \(А\) параллелограмма \(ABCD\), пересекает отрезки \(АВ\), \(АС\) и \(AD\) в точках \(P\), \Q\) и \(R\) coответственно. Докажите, что \(AP \cdot AB + AR \cdot AD = AQ \cdot AC\).

Ответ

Утверджение доказано.

Решение № 38514:

Применяя теорему Птолемея к четырехугольнику \(APQR\), получаем \(AP /cdot RQ + AR \cdot QP = AQ /cdot PR\). Так как \( \angle ACB = \angle RAQ = \angle RPQ\) и \(\angle RPQ = 180^\circ - \angle PAR = \angle ABC\), то \(\Delta RQP \backsim \Delta ABC\). Следовательно, \(RQ : QP: PR = AB : BC : CA = AB : AD : AC\), поскольку \(BC=AD\).