№38529

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Окружность и круг, Вписанная и описанная окружности,

Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.

Условие

Окружность, вписанная в треугольник, касается сторон \(BC\), \(СА\) и \(АВ\) в точках \(А_{1}\), \(B_{1}\), и \(C_{1}\) точка \(Q\) середина отрезка \(А_{1}B_{1}\). Докажите, что \( \angle B_{1}C_{1}C = \angle QC_{1}A_{1}\)

Ответ

Утверджение доказано.

Решение № 38513:

Пусть \(P\) вторая точка пересечения прямой \(CC_{1}\) вписанной окружности. Тогда \( \angle AB_{1}C_{1} = \angle B_{1}PC_{1}\), поэтому \(\Delta CPB_{1} \backsim \Delta CB_{1}C_{1}\), а значит, \(frac{PB_{1}}{B_{1}C_{1}} = \frac{CP}{CB_{1}}\). Аналогично \(\frac{CP}{CA_{1}} = \frac{PA_{1}}{A_{1}C_{1}}. Учитывая, что \(CA_{1} = CB_{1}\), получаем \(PB_{1} \cdot A_{1}C_{1} = PA_{1} \cdot B_{1}C_{1}\). По теореме Птолемея \(PB_{1} \cdot A_{1}C_{1} + PA_{1} \cdot B_{1}C_{1} = PC_{1} \cdot A_{1}B_{1}\) т.е. \(2PB_{1} \cdot A_{1}C_{1} = 2PC_{1} \cdot QA_{1}. Кроме того, \( \angle B_{1}PC_{1} = \angle QA_{1}C_{1}\). Поэтому \(\Delta B_{1}PC_{1} \backsim \Delta QA_{1}C_{1}\), а значит, \(\angle BC_{1}P = \angle QC_{1}A_{1}\).