№38528

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Окружность и круг, Вписанная и описанная окружности,

Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.

Условие

Расстояния от центра окружности, описанной около остроугольного треугольника, до его сторон равны \(d_{a}\) \(d_{b}\) и \(d_{c}\). Докажите, что \(d_{a} + d_{b} + d_{c} = R+ r\), где \(R\) и \(r\) - радиусы описанной и вписанной окружностей.

Ответ

Утверджение доказано.

Решение № 38512:

Пусть \(A_{1}\), \(B_{1}\), и \(C_{1}\) середины сторон \(ВС = а\), \(СА = b\) и \(АВ = c\). По теореме Птолемея \(АС_{1} \cdot OB_{1} + AB_{1} \cdot OС_{1} = AO \cdot B_{1}С_{1}\), где \(О\) - центр описанной окружности. Поэтому \(cd_{b} + bd_{c} = aR\). Аналогично \(ad_{c} + cd_{a} = bR\) и \(ad_{b} + bd_{a} = cR\).Кроме того, \(ad_{a} + bd_{b} + cd_{c} = 2 S_{ABC} = (a + b + c)r\). Складывая все эти равенства и сокращая на \(a + b + c\), получаем требуемое.