№38526

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Окружность и круг, Вписанная и описанная окружности,

Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.

Условие

Биссектриса угла \(D\) треугольника \(АВС\) пересекает описанную окружность в точке \(D\). Докажите, что \(АВ + AC < 2AD\).

Ответ

Утверджение доказано.

Решение № 38510:

По теореме Птолемея \(AB \cdot CD + AC \cdot BD = AD \cdot ВС\). Учитывая, что \(CD = BD > \frac{BC}{2}\), получаем требуемое.