№38525

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Окружность и круг, Вписанная и описанная окружности,

Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.

Условие

Четырёхугольник \(ABCD\) вписанный. Докажите, что \(AC /cdot BD = AB \cdot CD + AD \cdot ВС\( \(теорема Птолемея\).

Ответ

Утверджение доказано.

Решение № 38509:

Отметьте на диагонали \(BD\) точку \(М\) так, что \( \angle MCD = \angle BCA\) (рис. 246). Тогда \( \Delta ABC \backsim \Delta DMC\), так как углы \(ВАС\) и \(BDC\) опираются на одну дугу. Поэтому \(AB \cdot CD = AC \cdot MD\). Из равенства \( \angle MCD = \angle BCA\) следует также равенство \( \angle BCM = \angle ACD\). Поэтому \( \Delta ВСМ \backsim \Delta ACD\), так как утлы \(CBD\) и \(CAD\) опираются на одну дугу. Следовательно, \(BC \cdot AD = AC \cdot BM\). Таким образом, \(AB \cdot CD + AD \cdot BC = AC \cdot MD + AC \cdot BM = AC - BD\).