№38524

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Окружность и круг, Вписанная и описанная окружности,

Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.

Условие

Докажите, что если суммы противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность.

Ответ

Утверджение доказано.

Решение № 38508:

Пусть какие-то две смежные стороны данного выпуклого четырехугольника не равны, например \(AD > AB\). Тогда \(CD > BC\). Отметим на сторонах \(AD\) и \(CD\) точки \(Е\) и \(F\) так, что \(АЕ = АВ\) и \(CF = ВС\). Тогда \(DE = DF\). Проведём биссектрисы углов \(А\), \(С\) и \(D\). Прямые, содержащие эти биссектрисы, являются серединными перпендикулярами к сторонам треугольника \(ВЕР\), поэтому они пересекаются в одной точ-ке. Эта точка равноудалена от всех сторон четырехугольника.