№38523

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Окружность и круг, Вписанная и описанная окружности,

Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.

Условие

Докажите, что если сумма противоположных углов выпуклого четырёхугольника равна \(180^\circ\) , то около него можно описать окружность.

Ответ

Утверджение доказано.

Решение № 38507:

Пусть сумма противоположных углов четырёхугольника \(ABCD\) равна \(180^\circ\). Рассмотрим окружность, описанную около треугольника \(ABD\). Она пересекает прямую \(АС\) в некоторой точке \(C_{1}\), отличной от точки \(A\). При этом \( \angle BC_{1}D = 180^\circ - \angle A - \angle C\). Если \(AC_{1} < AC\), то \( \angle BC_{1}D > \angle C\), a если \(AC_{1} > AC\), то \( \angle BC_{1} D < \angle С\), поэтому точка \(C_{1}\), совпадает с точкой \(С\).