№38522

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Окружность и круг, Вписанная и описанная окружности,

Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.

Условие

Докажите, что если для вписанного четырёхугольника Авср выполнено равенетво \(CD = AD + ВC\), то точка пересечения биссектрис углов \(А\) и \(В\) лежит на стороне \(CD\).

Ответ

Утверджение доказано.

Решение № 38506:

Пусть \( \angle BAD = 2\alpha\) и \( \angle CBA = \angle 2 \beta\); для определённости будем считать, что \(\alpha \geqslant \beta\). Отметим на стороне \(CD\) точку \(Е\) так, что \(DE = DA\). Тогда \(CE = CD- AD = СВ\). Угод при вершине \(С\) равнобедренного треугольника \(ВСЕ\) равен \(180^\circ - 2\alpha\), поэтому \( \angle СВЕ = \alpha\). Аналогично \( \angle DAE = \beta\). Биссектриса угла \(В\) пересекает \(CD\) в некоторой точке \(F\). Так как \( \angle FBA = \beta = \angle AED\), четырёхугольник \(АВFЕ\) вписанный, а значит, \( \angle FAE = \angle FBE = \alpha - \beta\). Следовательно, \(\angle FAD = \beta + (\alpha - \beta) = \alpha\), T. e. \(AF\) - биссектриса угла \(А\).