№38521

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Окружность и круг, Вписанная и описанная окружности,

Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.

Условие

В четырёхугольник можно вписать окружность и около него можно описать окружность. Докажите, что отрезки, соединяющие точки касания противоположных сторон с вписанной окружностыо, перпендикулярны.

Ответ

Утверджение доказано.

Решение № 38505:

Пусть \(О\) - центр вписанной в четырёхугольник \(ABCD\) окружности, \(К\), \(L\), \(M\) и \(N\) - точки касания вписанной окружности со сторонами \(AB\), \(BC\), \(CD\) и \(DA\). Тогда \( \angle KOL = 180^\circ - \angle B= \angle D\) и \( \angle MON = 180^\circ - \angle D = \angle В\). Пусть \(Р\) точка пересечения отрезков \(КМ\) и \(LN\). Тогда \( \angle KPL = \frac{1}{2} (\smileKL + \smile MN) = 90^\circ\).