№38520

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Окружность и круг, Вписанная и описанная окружности,

Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.

Условие

Внутри выпуклого четырёкугольника \(ABCD\) расподожены четыре окружности одного радиуса так, что они имеют общую точку и каждая из них вписана в один из углов четырёхугольника. Докажите, что четырёхугольник \(ABCD\) вписанный.

Ответ

Утверджение доказано.

Решение № 38504:

Пусть \(О_{a}\), \(О_{b}\), \(О_{c}\), \(О_{d}\) - центры данных окружностей, вписанных в углы \(А\), \(В\), \(С\) и \(D\) ,a \(O\) - общая точка этих окружностей. Точки \(О_{a}\) и \(О_{b}\) равноудалены от прямой \(АВ\), поэтому \(О_{a}О_{b} \parallel AB\). Аналогично \(О_{a}О_{b} \parallel AB\) поэтому \(\angle ABC = \angle О_{a}О_{b}О_{c}\). Таким образом, углы четырёхугольника \(ABCD\) равны углам четырёхугольника \(О_{a}О_{b}О_{c}О_{d}\). Ясно также, что четырёхугольник \(О_{a}О_{b}О_{c}О_{d}\) вписанный, посказьку его вершины равноудалены от точки \(О\).