№38519

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Окружность и круг, Вписанная и описанная окружности,

Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.

Условие

В равнобедренную трапецию \(ABCD\) \(AB = CD\) вписана окружность. Пусть \(М\) точка касания окружности со стороной \(CD, К\) - точка пересечения окружности с отрезком \(AM, L\)- точка пересечения окружности с отрезком \(ВМ\). Вычислите величину \(frac{AM}{AK} + frac{BM}{BL}\)

Ответ

NaN

Решение № 38503:

Пусть \(Р\) - точка касания окружности с основанием \( AD\). По теореме о квадрате касательной \(АР^2 = АК \cdot АМ\). Угол \(D\) треугольника \(ADM\) заключён между сторонами \(AD = 2AP\) и \(DM = АР\). Поэтому, выразив сторону \(АМ\) по теореме косинусов, получим \(\frac{AM}{AK}=\frac{AM^2}{AP^2} = 5 - 4 \cos{D}\). Аналогично \(\frac{BM}{BL} = 5 - 4 \cos{C} = 5 + 4 \cos{D}\).