№38512

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Окружность и круг, Вписанная и описанная окружности,

Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.

Условие

Сторона \(ВС\) треугольника \(АВС\) наименьшая. На лучах \(ВА\) и \(СА\) отложены отрезки \(BD\) и \(СЕ\), равные \(ВС\). Докажите, что радиус окружности, описанной около треугольника \(ADE\), равен расстоянию между центрами окружности, описанной около треугольника \(АВС\), и окружности, вписанной в него.

Ответ

Утверджение доказано.

Решение № 38496:

Пусть \(I\) - центр окружности, вписанной в треугольник \(АВС\), \(О\) - центр окружности, описанной около него. Рассмотрим окружность радиуса 10 с центром \(I\) и проведём хорды \(ОМ\) и \(ON\), параллельные сторонам \(АВ\) и \(АС\). Пусть \(К\) - точка касания вписанной окружности со стороной \(AB\), \(L\) середина стороны \(АВ\). Тогда \(IК \perp АВ\) и \(OL \perp AB\), поэтому \(OM = 2KL = 2BL - 2BK = AB - (BC + AB - AC) = AC - BC = AE\). Аналогично \(ON = AD\). Поэтому \(\Delta MON = \Delta EAD\).