№38508

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Окружность и круг, Вписанная и описанная окружности,

Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.

Условие

Докажите, что центр окружности, вписанной в треугольник \(АВС\). расположен внутри треугольника, образованного средними линиями треугольника \(АВС\).

Ответ

Утверджение доказано.

Решение № 38492:

Пусть \(I\)- центр окружности, вписанной в треугольник \(АВС\), \(АА_{1}\} - биссектриса треугольника. По свойству биссектрисы \(AI : IA_{1} = AB : BA_{1}\) и \(BA_{1} = \frac{AB \cdot BC}{AB + AC}. Поэтому \(AI : IA_{1} = (AB + AC) : ВC > 1\).