№38505

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Окружность и круг, Вписанная и описанная окружности,

Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.

Условие

На стороне \(ВС\) треугольника \(АВС\) отмечена точка \(D\), и в треугольники \(ABD\) и \(ACD\) вписаны окружности. Общая внешняя касательная к ним \(отличная от прямой \(ВС\)\) пересекает отрезок \(AD\) в точке \(Е\). Докажите, что длина отрезка \(АЕ\) не зависит от положения точки \(D\) на стороне \(ВС\).

Ответ

Утверджение доказано.

Решение № 38489:

Пусть \(K\) и \(L\) - точки касания со стороной \(AD\) окружностей, вписанных в треугольники \(ABD\) и \(ACD\) (рис. 245). Рассмотрите треугольник, образованный общими внешними касательными к окружностям и прямой \(АD\). Одна из этих окружностей вписанная, а другая вневписанная, поэтому \(EL = KD\) (задача 21.28); если общие внешние касательные к окружностям параллельны, то равенство \(EL = KD\) очевидно. Следовательно, \(EL = KD = \frac{1}{2} (BD + AD - AB)\). Кроме того, \(AL = \frac{1}{2} (AD + AC - DC)\), поэтому \(AE = AL - EL = \frac{1}{2} (AB + AC - BD - DC) = \frac{1}{2} (AB + AC - BC)\).