№38496

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Окружность и круг, Вписанная и описанная окружности,

Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.

Условие

Три окружности попарно касаются внешним образом в точках \(А\), \(В\) и \(С\). Докажите, что окружность, описанная около треугольника \(АВС\), вписана в треугольник, вершины которого центры этих окружностей.

Ответ

Утверджение доказано.

Решение № 38480:

Пусть \(А_{1}\), \(B_{1}\) и \(C_{1}\) - центры данных окружностей. Тогда \(А_{1}B_{1} = А_{1}C + CB_{1}\), \(B_{1}C_{1} = B_{1}4A + AC_{1}\) и \(А_{1}C_{1} = А_{1}B + BC_{1}\), поэтому \(А_{1}B = \frac{1}{2} (А_{1} B_{1} + А_{1}C_{1} - B_{1}C_{1})\), т. е. \(В\) - точка касания окружности, вписанной в треугольник \(А_{1}B_{1}C_{1}\). со стороной \(А_{1}C_{1}\).