№38495

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Окружность и круг, Вписанная и описанная окружности,

Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.

Условие

Остроугольный треугольник расположен внутри окружности. Докажите, что её радиус не меньше радиуса окружности, описанной около треугольника. Верно ли это утверждение для тупоугольного треугольника?

Ответ

NaN

Решение № 38479:

Пусть остроугольный треугольник \(АВС\) расположен внутри окружности \(S\). Постройте описанную окружность \(S\), треугольника \(АВС\). Треугольник \(АВС\) остроугольный, поэтому градусная мера дуги окружности \(S_{1}\), лежащей внутри \(S\), больше \(180^\circ\). На этой дуге можно выбрать диаметрально противоположные точки, т. е. внутри окружности \(S\) содержится диаметр окружности \(S_{1}\). Треугольник \(АВС\) с тупым углом \(А\) расположен внутри окружности, построенной на стороне \(ВС\) как на диаметре. Радиус этой окружности равен \(\frac{BC}{2}\),а радиус окружности, описанной около треугольника, равен \(\frac{BC}{2 \sin{A}}\)