№38494

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Окружность и круг, Вписанная и описанная окружности,

Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.

Условие

Диагональ \(AC\) параллелограмма \(ABCD\) больше диагонали \(BD\); описанная около треугольника \(BDC\) окружность пересекает диагональ \(АС\) в точке \(М\). Докажите, что прямая \(BD\) является общей касательной к описанным окружностям треугольников \(АВМ\) и \(ADM\).

Ответ

Утверджение доказано.

Решение № 38478:

Пусть \(О\) - точка пересечения диагоналей \(АС\) и \(BD\). Тогда \(MO \cdot OC = BO \cdot OD\). Поэтому из равенств \(ОС = ОA\) и \(BO = OD\) следуют равенства \(МО \cdot ОA = ВО^2\) и \(МО \cdot OA = DO^2\). Эти равенства означают, что прямая \(ОВ\) касается окружности, описанной около треугольника \(АВМ\), и прямая \(OD\) касается окружности, описанной около треугольника \(ADM\).