№38493

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Окружность и круг, Вписанная и описанная окружности,

Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.

Условие

Внутри треугольника \(АВС\) отмечена точка \(Р\) так, что \(\angle BPC = \angle A + 60^\circ\), \(\angle APC = \angle B + 60^\circ\) и \(\angle APB = \angle C + 60^\circ\). Прямые \(АР\), \(ВР\) и \(СР\) пересекают окружность, описанную около треугольника \(АВС\), в точках \(А_{1]\), \(В_{1]\), и \(С_{1]\). Докажите, что треугольник \(А_{1]В_{1]С_{1]\) равносторонний.

Ответ

Утверджение доказано.

Решение № 38477:

Сложите равенства \(\smile C_{1}A + \smile A_{1}C = 2(180^\circ - \angle APC) = 240^\circ - 2 \angle B\) и \(\smile AB_{1} + \smile BA_{1} = 240^\circ - 2\angle C\) и вычтите из них равенство \(\smile BA_{1} + \smile A_{1}C = 2 \angle A\). В результате получитe \(\angle C_{1}B_{1} = \angle C_{1}A + \smile AB_{1} = 480^\circ - 2(\angle A + \angle В + \angle C) = 120^\circ\).