№38491

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Окружность и круг, Вписанная и описанная окружности,

Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.

Условие

Докажите, что если биссектриса \(AD\) треугольника \(АВС\) делит пополам угол между медианой \(АМ\) и высотой \(АН\), то угол \(А\) прямой.

Ответ

Утверджение доказано.

Решение № 38475:

Пусть \(О\) центр окружности, описанной около треугольника \(АВС\), \(Е \)- точка пересечения луча \(AD\) и описанной окружности. Тогда \(\angle MAD = \angle DAH = \angle MED = \angle OAD\), поэтому точки \(М\) и (\O\) совпадают.