№38484

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Окружность и круг, Вписанная и описанная окружности,

Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.

Условие

Биссектрисы углов \(А\) и \(В\) треугольника \(АВС\) пересекают окружность, описанную около треугольника, в точках \(А_{1}\) и \(B_{1}\). Докажите, что прямая \(А_{1}В_{1}\) перпендикулярна биссектрисе угла \(С\).

Ответ

Утверджение доказано.

Решение № 38468:

Пусть биссектриса угла \(С\) пересекает окружность в точке \(С_{1}\). Угол между хордами \(А_{1}В_{1}\) и \(СС_{1}\) равен полусумме дуг \(А_{1}С\) и \(С_{1}АВ_{1}\). На дугу \(А_{1}С\) опирается вписанный угол, равный половине угла \(А\), а на дугу \(С_{1}АВ_{1}\) опираются вписанные углы, равные половинам углов \(В\) и \(С\).