№38483

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Окружность и круг, Вписанная и описанная окружности,

Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.

Условие

Найдите косинус угла при основании равнобедренного треугольника, если ортоцентр треугольника лежит на вписанной в него окружности.

Ответ

NaN

Решение № 38467:

Пусть угол при основании \(АВ\) равнобедренного треугольника \(АВС\) равен \(\alpha\) и \(АВ = 2а\).Тогда радиус окружности, вписанной в треугольник, равен \(a \cot{\alpha}\). Если ортоцентр \(Н\) лежит на этой окружности, то \(\angle BAH = 90^\circ - \alpha\), поэтому диаметр окружности равен \(a \cot{\alpha}\). Таким образом, \(a \cot{\alpha} = 2\tan{\frac{\alpha}{2}\) Выразите обе части этого уравнения через \(sin{\frac{\alpha}{2}}\) и \(cos{\frac{\alpha}{2}}\).После сокращений и замены \(cos^2{\frac{\alpha}{2}}\) на \(1-sin^2{\frac{\alpha}{2}}\) находим: \(sin^2{\frac{\alpha}{2}} = \frac{1}{6}\) поэтому \(\cos{\alpha}=\frac{2}{3}.