№38482

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Окружность и круг, Вписанная и описанная окружности,

Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.

Условие

Трапеция \(ABCD\) равнобедренная с основанием \(AD\). В треугольники \(ABD\) и \(АВС\) вписаны окружности. Докажите, что прямая, проходящая через центры этих окружностей, перпендикулярна основаниям трапеции.

Ответ

Утверджение доказано.

Решение № 38466:

Пусть \(\alpha = AD > BC = c\), \(AB = CD = b\) и \(АС = ВС = d\). Проведите высоту \(ВН\) и рассмотрите точки \(К\) и \(L\), в которых вписанные окружности касаются оснований \(ВС\) и \(AD\). Тогда \(2AH - а - c\), \(2AL = a+b - d\) и \(2BK = 6 + с - d\), поэтому \(AL - АН = ВК\).