№38481

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Окружность и круг, Вписанная и описанная окружности,

Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.

Условие

Стороны \(АВ\), \(ВС\) и \(СА\) треугольника \(АВС\) касаются вписанной в него окружности в точках \(А_{1}\), \(В_{1}\), и \(С_{1}\). Докажите, что треугольник \(A_{1)B_{1}C_{1}\ остроугольный.

Ответ

Утверджение доказано.

Решение № 38465:

Пусть углы треугольника \(АВС\) равны \(2\аlpha\), \(2\beta\) и \(2\gamma\). Треугольники \(АВ_{1}С\) и \(А_{1}ВС\) равнобедренные, поэтому углы при их основаниях равны \(90^\circ - \аlpha\) и \(90^\circ - \beta\), а угол \(В_{1}С_{1}А_{1}\) равен \(\аlpha+\beta < \alpha + \beta + \gamma =90^\circ\).