№38478

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Окружность и круг, Вписанная и описанная окружности,

Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.

Условие

Окружность, вписанная в треугольник \(АВС\), касается стороны \(АВ\) в точке \(Е\). В треугольники \(АЕС\) и \(ВЕС\) вписаны окружности. Докажите, что они обе касаются отрезка \(СЕ\) в одной и той же точке.

Ответ

Утверджение доказано.

Решение № 38462:

Пусть окружности, вписанные в треугольники \(АЕС\) и \(ВЕС\), касаются отрезка \(СЕ\) в точках \(М\) и \(N\). Тогда \(2EM = AE + CE - AC\) и \(2EN = BE + CE - ВС\). Кроме того, \(2AE = AB + AC - ВС\) и \(2BE - AB + BC - AC\). Поэтому \(EM = EN\).