№38476

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Окружность и круг, Касательные и секущие,

Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.

Условие

Две окружности касаются внешним образом. Из точки первой окружности, отличной от точки касания, проведена прямая, касающаяся второй окружности в точке \(А\). Во второй окружности проведён диаметр \(АВ\). Докажите, что отрезок касательной, проведённый из точки \(В\) к первой окружности, равен \(АВ\).

Ответ

Утверджение доказано.

Решение № 38460:

Пусть \(С\) - точка касания первой окружности и касательной, \(BD\) - отрезок касательной, \(H\) - точка касания окружностей (рис. 244). Угол \(АНС\) прямой (задача 20.26), поэтому \(АН\) - высота прямоугольного треугольника \(АВС\), проведённая к гипотенузе. Следовательно, \(AB^2 = ВС \cdot BH\). По теореме о квадрате касательной \(BD^2 = ВС \cdot ВН\). Поэтому \(BD = AB\).<br> <img src='https://hot_data_kuzovkin_info_private.hb.bizmrg.com/picture_to_tasks/physics/erkovich/dinamic/№20.31.png'>