№38475

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Окружность и круг, Касательные и секущие,

Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.

Условие

В окружности с центром \(O\) проведена хорда \(АВ\) и на её продолжении отмечена точка \(С\). Через точку \(С\) проведены окружности, касающиеся этой окружности в точках \(А\) и \(В\); они пересекаются в точке \(D\). Докажите, что \( \angle ODC = 90^\circ\).

Ответ

Утверджение доказано.

Решение № 38459:

Пусть \(О_{A}\) и \(O_{B}\) - центры построенных окружностей, проходящих через точку \(С\) и точки \(А\) и \(В\) соответственно. Точки \(А\), \(O\) и \(О_{A}\) лежат на одной прямой, точки \(В\), \(О\) и \(О_{B}\) тоже лежат на одной прямой. Треугольники \(АОВ\), \(АО_{A}С\) и \(ВО_{B}С\) равнобедренные с равными углами при основаниях. Из этого следует, что \(ОО_{B} \parallel О_{А}С\) и \(OO_{A} \parallel O_{B}C\), т. e. четырёхугольник \(ОО_{A}CO_{B}\) - параллелограмм. Рассмотрим точку \(М\), в которой пересекаются его диагонали. Прямая \(О_{A}О_{B}\) - серединный перпендикуляр к отрезку \(CD\), поэтому \(DM = MC = МО\). Точка \(D\) лежит на окружности с диаметром \(ОС\), поэтому \(\angle ODC = 90^\circ\).