№38470

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Окружность и круг, Касательные и секущие,

Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.

Условие

Две окружности, сумма радиусов которых равна радиусу третьей окружности, касаются её внутренним образом. Докажите, что отрезок, соединяющий точки касания, проходит через одну из общих точек первых двух окружностей.

Ответ

Утверджение доказано.

Решение № 38454:

Пусть \(О\) - центр большей окружности, \(О_{1}\) и \(О_{2}\) - центры меньших окружностей, \(А\) и \(B\) - точки касания. Точки \(О_{1}\) и \(О_{2}\) лежат на сторонах \(АО\) и \(ОВ\) равнобедренного треугольника \(AОВ\) и \(АО_{1} = OO_{2}\). Поэтому согласно задаче 17.10 прямые, проходящие через точки \(О_{1}\) и \(О_{2}\) параллельно \(ОВ\) и \(АО\), пересекаются в некоторой точке \(С\) отрезка \(АВ\). Эта точка принадлежит каждой из первых двух окружностей.