№38469

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Окружность и круг, Касательные и секущие,

Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.

Условие

Две окружности касаются внутренним образом третьей окружности в точках \(А\) и \(В\), причём одна из точек пересечения этих окружностей лежит на отрезке \(АВ\). Докажите, что сумма радиусов первых двух окружностей равна радиусу третьей окружности.

Ответ

Утверджение доказано.

Решение № 38453:

Пусть \(О_{1}\), \(О_{2}\) и \(O\) - центры окружностей, \(С\) - точка пересечения окружностей, лежащая на отрезке \(АВ\). Треугольники \(АОВ\), \(АО_{1}С\) и \(СО_{2}В\) равнобедренные, точки \(O_{1}\) и \(О_{2}\) лежат на отрезках \(ОА\) и \(ОВ\). Поэтому \(OO_{1} = О_{2}С = О_{2}В\).