№38468

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Окружность и круг, Касательные и секущие,

Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.

Условие

Три окружности с центрами \(А\), \(В\) и \(С\), касающиеся друг друга и прямой \(l\), расположены так, как показано на рисунке 77. Докажите, что радиусы \(а\), \(b\) и \(с\) окружностей с центрами \(А\), \(В\) и \(С\) связаны соотношением \(\frac{1}{\sqrt{c}} = \frac{1}{\sqrt{a}} = \frac{1}{\sqrt{b}}\).

Ответ

Утверджение доказано.

Решение № 38452:

Проведите перпендикуляры \(АА_{1}\), \(ВВ_{1}\) и \(СС_{1}\) к прямой \(l\). Согласно примеру 4 на c. 81 \(A_{1}C_{1} = 2\sqrt{ac}\), \(B_{1}C_{1} = 2\sqrt{bc}\) и \(A_{1}B_{1} = 2\sqrt{ab}\). Поэтому из равенства \(A_{1}C_{1} + C_{1}B_{1} = A_{1}B_{1}\) следует, что \(\sqrt{ac} + \sqrt{bc} = \sqrt{ab}\).