№38465

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Окружность и круг, Касательные и секущие,

Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.

Условие

Из точки \(О\) проведены отрезок касательной \(ОA\) и секущая, пересекающая окружность в точках \(В\) и \(С\). Биссектриса угла \(AOB\) пересекает хорды \(АВ\) и \(АС\) в точках \(Р\) и \(Q\). Докажите, что \(AP^2 = PB \cdot QC\).

Ответ

Утверджение доказано.

Решение № 38449:

По свойству биссектрисы треугольника \(\frac{AP}{PB} = \frac{OA}{OB}\) и \(\frac{AQ}{QC} = \frac{OA}{OC}\), поэтому \(\frac{AP \cdot AQ}{PB \cdot QC} = \frac{OA^2}{OB \cdot OC}\). По теореме о квадрате касательной \(ОA^2 = ОВ \cdot ОС\), согласно задаче 20.14 \(AP = AQ\). Поэтому \(АР^2 = РВ \cdot QC\).