№38464

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Окружность и круг, Касательные и секущие,

Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.

Условие

Найдите радиус окружности, которая проходит через точки \(А\) и \(В\) на одной стороне угла с вершиной \(О\) и касается другой стороны, если \(ОA = а\), \(ОВ = b\) и угол равен \(\alpha\).

Ответ

NaN

Решение № 38448:

Пусть \(D\) - точка касания окружности со второй стороной угла, \(DH\) - перпендикуляр, проведённый к прямой \(АВ\). Тогда по теореме квадрате касательной \(OD^2 = ab\) и по теореме косинусов \(AD^2 = ab + a^2 - 2a \sqrt{ab} cos \alpha\). Треугольники \(OAD\) и \(ODB\) подобны, и коэффициент подобня равен \(\kappa = \frac{ОВ}{OD} = \sqrt{\frac{b}{a}}\). Далее, \(\sin DBH = \frac{DH}{DB} = \frac{OD \sin\alpha}{DB} = \frac{\sqrt{ab} \sin \alpha}{\kappa AD} = \frac{a \sin \alpha}{AD}\). Поэтому искомый радиус окружности равен \(\frac{AD}{2 \sin DBH} = \frac{AD^2}{2a \sin \alpha} = \frac{a+b-2\sqrt{ab}\cos \alpha}{2 \sin \alpha}\).