№38463

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Окружность и круг, Касательные и секущие,

Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.

Условие

Диагонали параллелограмма \(АВСD\) пересекаются в точке \(О\). Окружность, проходящая через точки \(А\), \(О\) и \(В\), касается прямой \(ВС\). Докажите, что окружность, проходящая через точки \(В\), \(О\) и \(С\), касается прямой \(CD\).

Ответ

Утверджение доказано.

Решение № 38447:

Выразите по теореме косинусов квадраты диагоналей параллелограмма через его стороны и один из углов и сложите эти равенства. B результате получите \(AC^2 + BD^2 = 2(BC^2 + CD^2)\). По теореме о квадрате касательной \(СВ^2 = CА \cdot СО = \frac{1}{2}СА^2\), поэтому \(DC^2 = \frac{1}{2} DB^2 = DB \cdot DO\). Это означает, что прямая \(DC\) касается окружности, проходящей через точки \(В\), \(O\) и \(С\).