№38462

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Окружность и круг, Касательные и секущие,

Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.

Условие

Окружность и прямая касаются в точке \(М\). Расстояния до этой прямой от точек \(А\) и \(В\), лежащих на окружности, равны \(а\) и \(b\). Найдите расстояние от точки \(М\) до прямой \(АВ\).

Ответ

\(x = $\sqrt{ab}$\)

Решение № 38446:

Пусть искомое расстояние равно \(х\) и данная прямая и прямая \(АВ\) пересекаются в точке \(О\) под углом \(\alpha\). Тогда \(sin \alpha = \frac{a}{AO} = \frac{b}{BO} = \frac{x}{MO}\), поэтому \(\frac{ab}{AO \cdot BO} = \frac{x^2}{MO^2}\). По теореме о квадрате касательной \(МО^2 = AО \cdot ВО\), поэтому \(х^2 = ab\).