№38461

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Окружность и круг, Касательные и секущие,

Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.

Условие

Окружность касается сторон угла с вершиной \(O\) в точках \(А\) и \(В\). Прямая, проходящая через точку \(А\) параллельно прямой \(ОВ\), пересекает эту окружность в точке \(С\). Отрезок \(ОС\) пересекает окружность в точке \(Е\). Докажите, что прямая \(АЕ\) делит отрезок \(ОВ\) пополам.

Ответ

Утверджение доказано.

Решение № 38445:

Пусть прямая \(АЕ\) пересекает прямую \(ОВ\) в точке \(М\). Тогда \(\angle MAO = \angle ACE\) (угол между касательной и хордой) и \(\angle ACE = \angle МОЕ\). Поэтому \(\Delta АМО \sim \Delta ОМЕ\) и \(AM : MO = OM : ME\), т. e. \(OM^2 = АМ \cdot МЕ\). По теореме о квадрате касательной \(МВ^2 = МА \cdot МЕ\). Следовательно, \(ОМ = МВ\).