№38460

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Окружность и круг, Касательные и секущие,

Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.

Условие

Прямая \(ОA\) касается окружности в точке \(А\), а хорда \(ВС\) параллельна \(ОA\). Прямые \(ОВ\) и \(ОС\) пересекают окружность в точках \(K\) и \(L\), отличных от точек \(В\) и \(С\). Докажите, что прямая \(KL\) делит отрезок \(ОA\) пополам.

Ответ

Утверджение доказано.

Решение № 38444:

Пусть для определённости лучи \(ОA\) и \(ВС\) сонаправлены; \(М\) - точка пересечения прямых \(KL\) и \(ОA\). Тогда \(\angle LOM = \angle LCB = \angle OKM\), поэтому треугольники \(КОМ\) и \(OLM\) подобны. Следовательно, \(ОМ : КМ = LM : OM\), т. e. \(OM^2 = KM \cdot LM\). Кроме того, по теореме о квадрате касательной \(MA^2 = MK \cdot ML\). Поэтому \(МА = ОМ\).