№38459

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Окружность и круг, Касательные и секущие,

Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.

Условие

Из точки \(О\) проведены отрезок касательной \(ОА\) и секущая, пересекающая окружность в точках \(В\) и \(С\). Биссектриса угла \(АОВ\) пересекает хорды \(АВ\) и \(АС\) в точках \(Р\) и \(Q\). Докажите, что \(AP = AQ\).

Ответ

Утверджение доказано.

Решение № 38443:

Пусть для определённости \(ОВ < ОС\). По теореме о внешнем угле треугольника \(\angle APQ = \angle OAP + \angle AOP\) и \(\angle OQA = \angle ACO + \angle COQ\). Углы \(ОАР\) и \(АСО\) равны по теореме об угле между касательной и хордой, а углы \(АОР\) и \(COQ\) равны, потому что точки \(Р\) и \(Q\) лежат на биссектрисе угла \(AОВ\).