№38453

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Окружность и круг, Касательные и секущие,

Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.

Условие

Из точки \(А\) проведены отрезки касательных \(АВ\) и \(АС\) к окружности с центром \(О\). Через точку \(Х\) отрезка \(ВС\) проведена прямая \(KL\), перпендикулярная \(ХО\) (точки \(К\) и \(L\) лежат на прямых \(АВ\) и \(АС\)). Докажите, что \(KX = XL\).

Ответ

Утверджение доказано.

Решение № 38437:

Точки \(В\) и \(Х\) лежат на окружности с диаметром \(КО\), поэтому \(\angle XKO = \angle XBO\). Аналогично \(\angle XLO = \angle XCO\). Треугольник \(ВОС\) равнобедренный, поэтому \(\angle XBO = \angle XCO\). Следовательно, треугольник \(KOL\) равнобедренный. Его высота \(ОХ\) является также медианой.