№38446

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Окружность и круг, Касательные и секущие,

Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.

Условие

Окружность, построенная на катете \(АВ\) прямоугольного треугольника \(ABD\) как на диаметре, пересекает гипотенузу \(BD\) в точке \(С\). Докажите, что касательная к окружности, проведённая через точку \(С\), делит катет \(AD\) пополам.

Ответ

Утверджение доказано.

Решение № 38430:

Пусть \(О\) - центр окружности, \(М\) - середина отрезка \(AD\). Угол \(ACD\) прямой, поэтому \(МА = МС\) и треугольники \(МАО\) и \(МСО) равны по трём сторонам. Следовательно, \(\angle MCO = \angle MAO = 90^\circ\), т. е. прямая \(МС\) - касательная.