№38445

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, площадь,

Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.

Условие

Точки \(E\) и \(F\) - середины сторон \(ВС\) и \(AD\) выпуклого четырёхугольника \(АВСD\). Докажите, что отрезок \(EF\) делит диагонали \(АС\) и \(BD\) в одном и том же отношении.

Ответ

Утверджение доказано.

Решение № 38429:

Пусть отрезок \(EF\) пересекает диагонали \(АС\) и \(BD\) в точках \(Р\) и \(Q\). Перпендикуляры, проведённые из двух вершин треугольника к продолжению медианы, равны, поэтому \(CP : PA = S_{CPQ} : S_{APQ} = S_{BPQ} : S_{DPQ} = BQ : QD\).