№38406

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, Взаимоотношения между сторонами и углами треугольников., теорема косинусов, теорема синусов,

Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.

Условие

В остроугольном треугольнике \(АВС\) биссектриса \(AD\), медиана \(ВМ\) и высота \(СН\) пересекаются в точке \(О\). Найдите \(cos А\), если \(OM = 2OA\).

Ответ

NaN

Решение № 38390:

Пусть \(ОА = х\) и \(\angle A = 2 \alpha\). Тогда \(AM= \frac{AC}{2} = \frac{AH}{2cos 2\alpha} = \frac{xcos \alpha}{2 cos 2 \alpha}\). Примените теорему косинусов к треугольнику \(АОМ\): \(4x^2 = x^2 + (\frac{xcos \alpha}{2 cos 2 \alpha})^2 - 2x \frac{x cos \alpha}{2 cos 2 \alpha} cos \alpha\). Сократите обе части на \(x^2\) и воспользуйтесь тем, что \(2(cos \alpha)^2 = cos2\alpha + 1\), получите квадратное уравнение \(28 (cos 2 \alpha)^2 + 3cos 2 \alpha - 1 = 0\). Это уравнение имеет положительный корень \(\frac{1}{7}\) и отрицательный корень \(- \frac{1}{4}\). Нас интересует только положительный корень.