№38405

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, Взаимоотношения между сторонами и углами треугольников., теорема косинусов, теорема синусов,

Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.

Условие

Наибольшая сторона треугольника равна \(\sqrt{3}\). Докажите, что три круга радиуса 1 с центрами в вершинах треугольника полностью покрывают треугольник.

Ответ

Утверджение доказано.

Решение № 38389:

Предположите, что точка \(О\) расположена внутри треугольника \(АВС\) и не покрыта кругами, т. е. отрезки \(ОА\), \(ОВ\) и \(ОС\) больше 1. Один из углов \(АОВ\), \(ВОС\) и \(СОА\) не меньше \(120^\circ\). Пусть для определённости \(\alpha = \angle AOB \geq 120^\circ\). Тогда \(AB^2 = AO^2 + BO^2 - 2AO \cdot BOcos \alpha > 1 + 1 + 1 = 3\).