№38404

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, Взаимоотношения между сторонами и углами треугольников., теорема косинусов, теорема синусов,

Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.

Условие

На стороне \(ВС\) треугольника \(АВС\) отмечена точка \(Х\). Докажите, что \(AB^2 \cdot CX + AC^2 \cdot BX - AX^2 \cdot BC = BC \cdot BX \cdot CX\) (теорема Стюарта).

Ответ

Утверджение доказано.

Решение № 38388:

Введите следующие обозначения: \(а_{1} = ВХ\), \(а_{2} = XC\), \(b = AC\), \(с = AB\), \(х = АX\). Выразите в треугольниках \(АВС\) и \(АВХ\) косинус угла \(В\) по теореме косинусов и приравняйте полученные выражения: \(\frac{c^2 +(a_{1}+a_{2})^2 - b^2}{2c(a_{1}+a_{2})} = \frac{c^2 + (a_{1})^2 - x^2}{2ca_{1}}\). Это равенство несложно преобразовать к требуемому равенству \(c^2a_{2} + b^2a_{1} - x^2(a_{1} + a_{2}) = (a_{1} + a_{2})a_{1}a_{2}\).