№38403

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, Взаимоотношения между сторонами и углами треугольников., теорема косинусов, теорема синусов,

Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.

Условие

Стороны выпуклого четырёхугольника равны \(а\), \(b\), \(с\) и \(d\) (стороны \(а\) и \(с\) противоположные), диагонали равны \(m\) и \(n\), а угол между диагоналями равен \(\alpha\). Докажите, что \(|a^2 + c^2 - b^2 - d^2| = 2mn|cos \alpha|\).

Ответ

Утверджение доказано.

Решение № 38387:

Пусть отрезки, на которые диагонали делятся точкой пересечения, равны \(m_{1}\), \(m_{2}\), \(n_{1}\), \(n_{2}\) и \(\angle AOB = \beta\) (рис. 231). Тогда \(a^2 = (m_{1})^2 + (n_{1})^2 - 2m_{1}n_{1} cos \beta\), \(c^2 = (m_{2})^2 + (n_{2})^2 - 2m_{2}n_{2} cos \beta\), \(b^2 = (m_{2})^2 + (n_{1})^2 + 2m_{2}n_{1} cos \beta\), \(d^2 = (m_{1})^2 + (n_{2})^2 + 2m_{1}n_{2} cos \beta\). Поэтому \(a^2 + c^2 - b^2 - d^2 = -2(m_{1} + m_{2})(n_{1} + n_{2}) cos \beta = - 2mncos \beta\). Кроме того, \(cos \beta = \pm cos \alpha\).<br> <img src='https://hot_data_kuzovkin_info_private.hb.bizmrg.com/picture_to_tasks/physics/erkovich/dinamic/№18.29.png'>