№38402

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, Взаимоотношения между сторонами и углами треугольников., теорема косинусов, теорема синусов,

Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.

Условие

Стороны параллелограмма равны \(а\) и \(b\), его диагонали равны \(m\) и \(n\). Докажите, что \(а^4 + b^4 = m^2n^2\) тогда и только тогда, когда острый угол параллелограмма равен \(45^\circ\).

Ответ

NaN

Решение № 38386:

Пусть острый угол параллелограмма равен \(\varphi\). Тогда \(m^2n^2 = (a^2 + b^2 - 2ab cos \varphi)(a^2 +b^2 + 2ab cos \varphi) = (a^2 + b^2)^2 - 4a^2b^2 (cos \varphi)^2 = a^4 + b^4 + 2a^2b^2(1-2 (cos \varphi)^2)\). Для острого угла \(\varphi\) равенство \(2 (cos \varphi)^2 = 1\) эквивалентно тому, что \(\varphi = 45^\circ\).