№38401

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, Взаимоотношения между сторонами и углами треугольников., теорема косинусов, теорема синусов,

Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.

Условие

Докажите, что медианы \(АА_{1}\) и \(BB_{1}\) треугольника \(АВС\) перпендикулярны тогда и только тогда, когда \(а^2 + b^2 = 5с^2\).

Ответ

Утверджение доказано.

Решение № 38385:

Пусть \(М\) - точка пересечения медиан треугольника \(АВС\). Медианы \(АА_{1}\) и \(ВВ_{1}\) перпендикулярны тогда и только тогда, когда угол \(АМВ\) прямой, т. е. \(АМ^2 + BM^2 = c^2\). Воспользуйтесь выражением для квадрата медианы из примера 4 на c. 70: \(AM^2 = frac{4}{9} \cdot \frac{2b^2+2c^2-a^2}{4}\) и \(BM^2 = \frac{2a^2+2c^2-b^2}{9}\). Поэтому равенство \(AM^2 + BM^2 = с^2\) эквивалентно равенству \(2b^2+ 2c^2 - a^2 + 2a^2 + 2c^2 - b^2 = 9c^2\).