№38397

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, Взаимоотношения между сторонами и углами треугольников., теорема косинусов, теорема синусов,

Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.

Условие

Докажите, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон.

Ответ

Утверджение доказано.

Решение № 38381:

Пусть смежные стороны параллелограмма равны \(а\) и \(b\), а угол между ними равен \(\alpha\). Тогда квадраты диагоналей равны \(а^2 + b^2 - 2abcos \alpha\) и \(a^2 + b^2 + 2abcos \alpha\), поэтому сумма квадратов диагоналей равна \(2а^2 + 2b^2\).