№38396

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, Взаимоотношения между сторонами и углами треугольников., теорема косинусов, теорема синусов,

Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.

Условие

Вершины четырёхугольника \(ABCD\) лежат на окружности. Докажите, что произведение расстояний от произвольной точки \(M\) этой окружности до прямых \(АВ\) и \(CD\) равно произведению расстояний от неё до прямых \(ВС\) и \(AD\).

Ответ

Утверджение доказано.

Решение № 38380:

Согласно задаце 18.13 высота треугольника равна \(\frac{ab}{2R}\), где \(а\) и \(b\) - длины сторон, выходящих из той же вершины, что и высота, а \(R\) - радиус окружности, описанной около треугольника. Поэтому высоты треугольников \(МАВ\) и \(MCD\), проведённые из вершины \(М\), равны \(\frac{MA \cdot MB}{2R}\) и \(\frac{MC \cdot MD}{2R}\), а высоты треугольников \(МВС\) и \(MAD\), проведенные из вершины \(М\), равны \(\frac{MB \cdot MC}{2R}\) и \(\frac{MA \cdot MD}{2R}\).