№38394

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, Взаимоотношения между сторонами и углами треугольников., теорема косинусов, теорема синусов,

Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.

Условие

Докажите, что длина биссектрисы \(AD\) треугольника \(АВС\) равна \(\frac{2bc}{b+c}cos \frac{A}{2}\).

Ответ

Утверджение доказано.

Решение № 38378:

Обозначим длину биссектрисы \(AD\) буквой \(l\). Из равенства \(S_{ABC} = S_{ABD} + S_{ACD}\) следует, что \(bc sin A = blsin \frac{A}{2} + c\sin(\frac{A}{2})\). Кроме того, \(sin A = 2sin(\frac{A}{2}) cos(\frac{A}{2})\).